Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda disertai Contoh Soal

Thursday, November 17th, 2016 - Kelas 11, Matematika SMA, Trigonometri, Uncategorized

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda – Pada kesempatan ini admin Rumus Matematika akan berbagi tentang Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda, di sini admin akan menyediakan Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda disertai dengan contoh soal agar lebih mudah dipahami.

Rumus Trigonometri untuk Sudut GandaRumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

1. Rumus untuk sin 2α

Anda telah mengetahui bahwa

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Untuk β = α, diperoleh

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

sin 2 α = 2 sin α cos α

Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α

2. Rumus untuk cos 2α

Anda juga telah mempelajari bahwa

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Untuk β = α, diperoleh

cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α

cos 2α = cos²α – sin²α

Jadi, cos 2α = cos²α – sin²α

Untuk rumus cos 2α dapat juga ditulis

cos 2α = cos²α – sin²α

cos 2α = (1 – sin²α) – sin²α

cos 2α = 1 – 2 sin²α

Jadi, cos 2α = 1 – 2 sin²α

Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa

cos 2α = 2 cos²α – 1

3. Rumus untuk tan 2α

Dari rumus

tan(α + β) = (tan α + tan β) / ( 1 –  tan α . tan β )

Untuk β = α diperoleh

tan(α + α) = (tan α + tan α) / ( 1 –  tan α . tan α ) ⇔ tan 2α = (2 tan α) / ( 1 – tan² α

Jadi, tan 2α =

Contoh Soal

1. Dengan menggunakan konsep sin 2α, nyatakan sin α dalam perbandingan trigonometri ½α.

Pembahasan :

sin α = sin 2 (½α)

⇒ sin α = 2 sin ½α cos ½α

Jadi, sin α = 2 sin ½α cos ½α

2. Jika diketahui α adalah sudut lancip dengan sin α = ⅗, maka hitunglah nilai dari sin 2α.

Pembahasan :

Ingat, karena sin α = ⅗, maka cos α = ⅘.

sin 2α = 2 sin α cos α

⇒ sin 2α = 2 (⅗) (⅘)

⇒ sin 2α = 2425

Jadi, sin 2α = 2425.

3. Diketahui 3α = (2α + α), buktikan bahwa sin 3α = -4 sin3α + 3sin α.

Pembahasan :

sin 3α = -4 sin3α + 3sin α

⇒ sin (2α + α) = -4 sin3α + 3sin α

⇒ sin 2α cos α + cos 2α sin α = -4 sin3α + 3sin α

⇒ (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin2α) sin α = -4 sin3α + 3sin α

⇒ 2 sin α cos2α  + (sin α − 2 sin3α) = -4 sin3α + 3sin α

⇒ 2 sin α cos2α  + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α

Ingat bahwa cos2α = 1 − sin2α, sehingga :

⇒ 2 sin α (1 − sin2α)  + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α

⇒ 2 sin α − 2 sin3α + sin α − 2 sin3α = -4 sin3α + 3sin α

⇒ 3 sin α − 4 sin3α = -4 sin3α + 3sin α

⇒ -4 sin3α + 3 sin α = -4 sin3α + 3sin α (Terbukti).

4. Jika ABC adalah sudut dalam segitiga, tunjukkanlah bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.

Pembahasan :

Karena segitiga, maka A + B + C = 180o = π.

A = π – (B + C)

⇒ 2A = 2π – (2B + 2C)

⇒ sin 2A = sin {2π – (2B + 2C)}

⇒ sin 2A = sin 2π cos (2B + 2C) − cos 2π sin (2B + 2C)

⇒ sin 2A = 0. cos (2B + 2C) − (1) sin (2B + 2C)

⇒ sin 2A = -sin (2B + 2C)

⇒ sin 2A = -{sin 2B cos 2C + cos 2B sin 2C)

⇒ sin 2A = -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C

Selanjutnya, substitusi sin 2A ke soal yang ditanya.

sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

⇒ -sin 2B cos 2C − cos 2B sin 2C + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

⇒ -sin 2B cos 2C + sin 2B − cos 2B sin 2C  + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

⇒ sin 2B (1 − cos 2C) + sin 2C (1 − cos 2B) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 2 sin B cos B (2 sin2C) + 2 sin C cos C (2 sin2B) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin B cos B (sin2C) + 4 sin C cos C (sin2B) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin B sin C (cos B sin C + cos C sin B) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin B sin C (sin B cos C + cos B sin C) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin B sin C sin (B + C) = 4 sin A sin B sin C

Ingat bahwa B + C = π – A, maka :

⇒ 4 sin B sin C sin (π – A) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin B sin C (sin A) = 4 sin A sin B sin C

⇒ 4 sin A sin B sin C = 4 sin A sin B sin C. (Terbukti).

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda disertai Contoh Soal | Rumusiana | 4.5